分散 N-1 自由度

自由度 φ はデータ数から 1 を引いたもの N – 1 標本分散の確率分布という立場からは偏差2乗和を N – 1 で割ったものを考えることになります. テーマ不偏分散の定義にて n-1 で割っている本当の理由を明らかにします またそれと絡めてノリで使われがちな自由度とはなにかに.


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N 個のデータが x i N μσ 2 のとき 標本平均 x-標本分散 s 2 分散未知のときの母平均 μ の 95 信頼区間 自由度 n 1 の t 分布の 975分位点 t 0 と すると Pr x- t 0 s n μ x- t 0 s n 095 母平均に対する t 検定.

分散 n-1 自由度. において分散分析表を作り回帰式に意味が無いという帰無仮説の検定を行えまたこの回帰関係の 決定係数重相関係数の2乗r 2 を求めよ ただし自由度 111 の f 分布の 95 点は 48499点は 965 である. 帰無仮説が正しければこれは 自由度 n-1 のt分布 tn-1 に従う. これが母分散を求めるときの自由度n1 につながる n1 では不可分母が0になるn2 ならば自由に使えるということを分母で示している.

分散σ 2 の不偏推定値は平方和の期待値がn1σ 2 である性質から自由度 n1で除することで得られます 観測値の合計値を平方和の計算に使ったので自由度が一つ減ったのです. ほとんど 高校数学の美しい物語 様 の通りなのですが冗長なくらいに付け足しを加えています. 自由度 n 1 n-1 n 1 のカイ二乗分布の期待値は n 1 n-1 n 1 なので E u 2 σ 2 Eu2sigma2 E u 2 σ 2 が分かります nの場合にも証明してみてください.

つまり標本平均 の分布が平均が で分散が である正規分布に従う場合式5の母平均の統計的推定は母分散の値を分かっている時には式6のように平均が0分散が1である標準正規分布を母分散の値を分かっていない時には式7のように自由度がn-1のt分布を利用すれば良い. 平方和を構成するn個の偏差の自由度はn1だから 平方和もまたn1の自由度をもつことになる 分散を定義する 分散平方和自由度. これを chi2 検定.

つまり i 1 n X i X 2 displaystylesum_i1nX_i-overlineX2 i 1 n X i X 2 は標準正規分布に独立に従う n 1 n-1 n 1 個の確率変数の二乗和で表現できたので自由度 n 1 n-1 n 1 のカイ二乗分布に従うことが分かる. 不偏分散はなぜ n 1 で割るのかという疑問がわいたのですが 社内では誰も納得できる答えを持ち合わせておりませんでした 文献によっては自由度という概念で説明されていたのですが 単に言葉で誤魔化しただけのような気がして. 初のn 1個の値が決まると残りの偏差Yn Y の 値は自動的に決まってしまうYn Y は自由に動く ことができないのだよしたがって自由度が減る のだ T 君.

検定統計量は chi2fracn-1s2sigma_02 これは帰無仮説のもとで 自由度 n-1 の chi2 分布 に従う. つまり自由度が1つ減ったということです平均値を推定したことによって自由度はn – 1 10 – 1 9になったということです それでは続いて分散を求めてみましょう分散の公式は次の通りです Var sumx_i – x_mean 2 n – 1.


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